主計處的幾何平均年成長率3.08%，誤差很大

這些運算只是呈現數值關係的邏輯，不需要經濟理論也能懂。它告訴我們：馬英九2008-2010執政下，台灣經濟平均每年約略僅成長1.51%，而主計處提出的算數平均3.21%與幾何平均3.08%，都過度浮誇了馬英九執政的經濟成長表現。

◎ 林環牆, 部落格專論, 12-22-2011; 

自由時報記者陳永吉12月19日專題報導「馬執政3年經濟成長率平均僅1.51% 」引述本人同月14日自由廣場「平均每年經濟成長率的正確算法 」一文，再度強調馬執政3年 經濟成長率平均僅1.51％，而不是算數平均嚴重高估的3.21%。 

針對該專題報導，行政院主計處同（19）日發佈新聞稿謂：多年平均經濟成長率之計算，國際上一般有算數平均和幾何平均兩種方式。該新聞稿指出，按算數平均，馬政俯2008－2007三年平均每年台灣經濟成長3.21%；如按幾何平均，平均每年經濟成長3.08%。 

至於本人按正確算法「流量調整的幾何平均」算出三年平均每年僅成長1.51％，主計處新聞稿則以「未見各國採用」，輕描淡寫略過。 

請問行政院主計處：究竟是算數平均3.21%, 還是你的幾何平均3.08%, 或者還是我的幾何平均1.51%, 才是馬英九執政前面三年台灣真正的平均每年成長幅度？主計處沒有回答這個問題，在此，我再為讀者分析一次。 

為便於說明，以y₀表示2007(即基礎年)實質GDP，而y₁ 、y₂ 、y₃ 則分別代表馬英九政府第一年（2008），第二年（2009），以及第三年（2010）的實質GDP。 

按主計處新聞稿提出的資料：y₀ = 12兆9,759.85億元（台幣，下同）；y₁ = 13兆706.81億元；y₂ = 12兆8,340.49億元；y₃ = 14兆2,102.85億元。 

因此，在馬英九執政下，各年經濟成長率是：2008年0.73%；2009年負1.81％； 2010年10.72%。三年GDP實際總和(Y)等於 y₁+y₂+y₃ = 40兆1,150.15億元。 

假定這三年GDP實際成長等同於平均每年成長3.08% （主計處幾何平均），則三年GDP試算總和（Y_G ) 等於 y₀ x (1.0308 + 1.0308² + 1.0308³) = 41兆3,755.34億元，比實際總和多出了1兆2,605.19億元；即 Y_G > Y。結果與算數平均一樣，主計處幾何平均3.08%試算的GDP還是大幅高估了台灣GDP的實際成長。 

若我們用1.51%（本人計算的流量調整幾何平均）， 則三年GDP試算總和（Y_FG ) 等於 y₀ x (1.0151 + 1.0151² + 1.0151³) = 40兆1,154.58億元，約等於實際總和GDP（即 Y_FG ＝ Y）。 

這些運算只是呈現數值關係的邏輯，不需要經濟理論也能懂。它告訴我們：馬英九2008－2010執政下，台灣經濟平均每年約略僅成長1.51%，而主計處提出的算數平均3.21%與幾何平均3.08%，都過度浮誇了馬英九執政的經濟成長表現。 

本人計算的流量調整幾何平均公式是：［註一］ 

Y/y₀ = (1 + g) + (1 + g)² + (1 + g)³，其中 Y = y₁+y₂+y₃。 

主計處未經流量調整的幾何平均公式是［註二］：

y₃/y₀ =  (1 + g)³。 

若GDP是存量（stock），主計處的公式將百分之百正確。但GDP不是存量，而是一定期間的流量（flow）。所以，主計處的幾何平均3.08%必然產生誤差。 

這個誤差可大可小。如果台灣經濟基本上處於長期性「穩定均衡 」，每年實際成長率幾乎接近一個固定常數，那麽 主計處幾何平均的誤差也將微乎其微。而我的幾何平均公式也自然可因而簡化為主計處的幾何平均公式，因為此時 Y/y₀  - (1+g) - (1+g)² 約略等於 y₃/y₀［註三］。 

但在短期景氣循環震盪的階段，則不然。 因此，主計處的幾何平均3.08%嚴重偏離了1.51%，而產生了巨大誤差。主計處應注意，與算數平均一樣，未經流量調整的幾何平均年成率，畢竟只是一個近似值。 

________________________________ 

註一：在 y 是流量的前提下，流量調整幾何平均年成長率的公式可寫成：

                 g = [Y/y₀  - (1 + g) - (1 + g)²]^1/3 - 1

讀者可利用定點趨近法 （fixed-point iteration）算出 g 的值。 

註二：行政院主計處的未經流量調整幾何平均年成長率的公式可寫成： 

           g = [y₃/y₀  ]^1/3  - 1 

註三： 假定台灣在接近長期穩定均衡（steady state equilibrium）的情況下，實際GDP（y_i ）與試算GDP （ y₀ (1+g)ⁱ, i = 1, 2, 3）約略相等，亦即：  

           y_i  = y₀ (1 + g)ⁱ  

因此，Y - y₀ (1 + g) - y₀ (1 + g)² = Y – y₁ – y₂ = y₃，也因此， Y/y₀  - (1 + g) - (1 + g)²  = y₃/y₀。

（作者為美國北卡大學經濟學副教授暨「台灣公共政策諮議會」研究員）

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馬英九執政前三年，台灣經濟平均每年僅成長1.51%, 大幅落後新加坡和南韓

總統電視辯論時，馬先生說： 近四年來，世界不景氣，台灣卻逆風高飛，去年經濟成長，世界排名第四，亞洲第二。但真相是，馬英九執政前三年，按照實質GDP，平均每年經濟成長率僅僅只有1.51%。

在亞洲四小龍中，同樣三年期間，新加坡平均每年經濟成長2.86，南韓2.22%，都大幅領先台灣。

◎ 林環牆, 部落格專論, 12-07-2011；自由時報, 12-14-2011

總統電視辯論時，馬先生說： 近四年來，世界不景氣，台灣卻逆風高飛，去（2010）年經濟成長10.72%，世界排名第四，亞洲第二。  

但真相是，馬英九執政前三年（2008-2010），按照實質GDP，平均每年經濟成長率僅僅只有1.51%。 

在亞洲四小龍中，同樣三年期間，新加坡平均每年經濟成長2.86%，南韓2.22%，都大幅領先台灣。 諷刺的是，早就納入中國版圖，並更早與中國簽署類似ECFA的香港， 平均每年經濟成長率更低落到只有1.39%。台、港成長表現遠不如新、韓，而台灣失業率又居首。 這樣的對照，台灣真的是逆風高飛？

讀者們也許會問：馬英九執政前三年成長率不是2008年的0.73%，2009年的負1.81%，以及2010年的10.72%嗎？如是，三年算數平均成長率不是應達到3.21% [＝ (0.0073 - 0.0181 + 0.1072)/3]嗎?

的確，「算數平均」是3.21%。但在景氣上下大幅振盪，GDP不是逐年穩健增長時，「算數平均」會顯著高估。正確的算法是使用「幾何平均」，如此算， 三年平均僅及1.51%，讀者當然會很訝異，算數平均竟會發生倍數高估！茲簡單的說明如下：

馬英九執政下，按2006年幣值，台灣GDP2008年 達13兆706.8億台幣，2009年達12兆8,340.5億台幣，2010年達14兆2,102.9億台幣，實際三年總和(Y )40兆1,150.2億台幣。

假定算數平均是對的，那麽自2007基礎年GDP（y）12兆9,759.9億起跳，每年成長3.21%，則馬政府三年總和GDP也應等於 Y = y  x (1.0321 + 1.0321² + 1.0321³)。但算出來的Y值則高達41兆4,810.6億，亦即高估了1兆3,660.4億台幣。也就是說「算數平均」在當前環境嚴重錯誤。

如按每年成長1.51%，Y = y x (1.0151 + 1.0151² + 1.0151³) = 40兆1,150.5億台幣，與實際三年總和一致（小數點不同是因四捨五入關係）。

上面說明証明了：馬英九執政前三年，平均每年經濟成長率只有1.51%, 而不是台灣媒體所說的3.21%。

但要如何算出三年幾何平均年成長率(g)呢?  首先，要知道GDP是流量，不是存量。所以計算g值必須透過求解數學方程式：

 Y/y = (1+g) + (1+g)²+ (1+g)³， 

其中Y/y 約略大於3.09， 是指2008-2010三年實際總和GDP除以基礎年(2007)GDP的倍數。設若此倍數恰等於三，那麽g值正等於零，表示三年經濟平均零成長。

為便於對照，我從亞洲四小龍實質GDP政府統計的原始資料，算出2008-2010各年經濟成長率，以及按「算數平均」和「幾何平均」算出平均每年成長率如下 ：

 　

                 2008        2009        2010      算數平均      幾何平均

台灣            0.73         -1.81       10.72          3.21               1.51

南韓            2.30          0.20         6.06          2.85               2.22

新加坡        1.49         -0.77       14.47          5.06               2.86

香港            2.31         -2.66         6.97          2.21               1.39

從表列得知，在國際金融風暴衝擊下，平均每年成長，台、韓、新、港都沒有能力「 保三 」。與中國特別深度整合的台灣和香港，甚至連「 保二 」都達不到。而且，也証實：當GDP起落變動過大時，算術平均就不是可信賴的算法，台、新即為明顯二例。

馬英九領導的團隊，執行的是無效率又浪費的赤字擴張政策，自我感覺良好，但激勵成長是失敗的（三年GDP平均每年僅微增1.51%），創造就業也不行，反而資金加速流向中國，社會所得分配繼續惡化，稅基萎縮，政府負債累累。

（作者為美國北卡大學經濟學副教授暨「台灣公共政策諮議會」研究員）

後記：本文也刊登在自由時報 (12-14-2011), 但內文2009年達12兆8,340.5億台幣，原先誤植為12兆8,430.5億台幣。這僅是34和43兩位數打印顛倒而已，跟全文所有數字運算無關。特此聲明。

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